Galileo

La caída de los cuerpos

Por Santiago Álvarez-Sala y Miguel García

En esta tercera entrada del blog calcularemos el valor de la gravedad sobre la superficie terrestre. Ésta, como bien sabemos, es una aceleración vertical y hacia el centro de la Tierra, por lo que su valor es -9,8 m/s^2. Para llegar a ese solo valor realizaremos una serie de gráficas y cálculos analíticos que relacionarán las cuatro magnitudes que se dan en el MRUA: tiempo, espacio recorrido, velocidad y aceleración.

Para obtener estas relaciones hemos realizado una experiencia similar a la que se supone que hizo Galileo. Lo que hizo fue, según cuenta la leyenda, dejar caer tres bolsas desde el primer piso de la Torre de Pisa: una con bolas de plomo de mayor tamaño, otra con bolas del mismo material pero más pequeñas y la última rellena de bolas de madera. De este modo lo que pretendía era demostrar que Aristóteles había errado al determinar que la velocidad de caída de los cuerpos dependía de su velocidad. Efectivamente, Galileo estaba en lo cierto, pues las bolas cayeron casi al mismo tiempo, determinando así que la velocidad de caída dependía del rozamiento con el aire, que está directamente relacionado con el volumen y con la hidrostática de Arquímedes, pues el aire es un fluido, y que por tanto un elefante y una hormiga tardarían lo mismo en llegar al suelo si se dejasen caer desde la Torre de Pisa en el vacío.

El experimento que realizamos nosotros es similar, puesto que lo que hicimos fue dejar caer dos bolas de acero de distinto tamaño y masa desde una distancia de 113 cm. Para realizarlo pegamos una cinta métrica a la pared y grabamos la caída, descomponiéndola posteriormente en fotogramas o frames para poder fijarnos en la distancia que han recorrido cada 0,08 s.

Cabe aclarar antes de seguir que nosotros realizamos esta misma experiencia, pero debido a una serie de problemas técnicos relacionados con la descarga de los vídeos grabados con el móvil al ordenador, no hemos podido tomar nuestros datos propios, por lo que hemos tomado lo obtenidos por nuestros profesores de física, que realizaron el mismo experimento. Los datos son los siguientes:

POSICIÓN (Y) - Metros	TIEMPO (T) - Segundos
0	0
-0.03	0.08
-0.12	0.16
-0.27	0.24
-0.49	0.32
-0.78	0.4
-1.13	0.48

1. ¿Es posible representar los datos (y, t) en una gráfica? Hacedlo.

Hemos dicho que los movimientos de caída libre son siempre un MRUA, puesto que sufren una aceleración, que es la gravedad, de valor -9,8m/s^2.

2. Con los datos obtenidos calculad la velocidad de la bola en función del tiempo para cada intervalo.

Observad que la velocidad media es el incremento del desplazamiento respecto del tiempo:

Para calcular la velocidad de la bola respecto al tiempo hemos utilizado la siguiente fórmula:

v (t) = incremento de y/incremento de t

A continuación os mostramos una foto de como los hemos hecho:

En esta tabla podemos ver la velocidad y la posición respecto al tiempo

T (s)	Y (m)	V (m/s)
0	0	0
0,08	-0,03	-0,31
0,16	-0,12	-1,19
0,24	-0,27	-1,88
0,32	-0,49	-2,75
0,4	-0,78	-3,63
0,48	-1,13	-4,38

3. Con los datos obtenidos representad gráficamente la velocidad para cada tramo en función del tiempo y analizad cualitativamente este gráfico. ¿Qué podéis decir sobre el tipo de movimiento que describe la bola

de acero en su caída? ¿Está de acuerdo esta observación con vuestras expectativas?

Para responder a las cuestiones que nos encontraremos más abajo debemos antes hacer ciertas observaciones con respecto a esta gráfica. Hemos determinado que nuestro experimento, y las caídas libres en general, presenta un MRUA. Con esta gráfica lo verificamos, puesto que sabemos que en los MRUA las gráficas de tipo v-t son lineales, en las que la pendiente equivale a la aceleración, que en este caso, será un valor aproximado al de la gravedad. Al  tener una aceleración, a medida que aumenta el tiempo, también lo hace la velocidad del móvil, puesto que, como ya hemos dicho, hay una aceleración que hace que ésta incremente. Observamos también que la velocidad es negativa, puesto que hemos tomado como SR nuestra mano al dejar la bola caer. Una vez sabemos todo esto y hemos verificado que realmente este movimiento es un MRUA procederemos a calcular la gravedad.

4. A partir de la gráfica construida v(t), determinad el valor de la aceleración de la gravedad, g.

Comparad el valor de g obtenido con el ya conocido.

Para calcular la gravedad realizaremos el siguiente cálculo:

Al ser un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, como su nombre indica, la aceleración es uniforme o constante, por lo que la aceleración instantánea es igual a la aceleración media, la cual se realiza calculando el incremento de velocidad y diviediéndolo entre el incremento de tiempo, tal que así:

Obtenemos que la gravedad es -9,114 m/s^2, siendo el valor real -9,8 m/s^2.

5. Si existe discrepancia entre el modelo teórico y el obtenido experimentalmente, detectad y analizad las posibles fuentes de error. El modelo teórico, es decir, lo que teóricamente se hubiera obtenido, lo podéis desarrollar utilizando las ecuaciones cinemáticas para la caída libre: h = 1/2gt^2 y v = gt (considerad g = 9,8 m/s^2) y representad la gráfica v-t para los valores de tiempo anteriores.

Obtenemos que la gravedad es -9,114 m/s^2, siendo el valor real -9,8 m/s^2. Esto quiere decir que el valor que hemos obtenido nosotros como gravedad tiene un error absoluto de 0,686 m/s y un error relativo de 7 %. Esto significa que el experimento realizado está bastante bien hecho, pues un 7% no es un valor alto, sino más bien lo contrario.

Y estas discrepancias, ¿A qué se deben? Uno de los motivos que influye es el rozamiento con el aire, ya que el valor real de la gravedad está obtenido en el vacío. Otro posible motivo es el no haber sido demasiado precisos en la toma de dato, en parte comprensible porque no gozamos de herramientas tan sofisticadas. El tercer posible error cometido al realizar  cálculos, pues hemos redondeado a dos cifras decimales, suprimiendo de esta forma muchas otras. Finalmente concluiremos diciendo que la velocidad instantánea ha sido tomado por intervalos de tiempo, y no por instantes, por lo que ahí también puede residir cierta equivocación.

En teoría, si nada de lo citado ocurriese y todo fuese perfecto, obtendríamos los siguientes valores:

T (s)	Y (m)	V (m/s)
0	0	0
0,08	-0,03	-0,78
0,16	-0,13	-1,56
0,24	-0,28	-2,35
0,32	-0,5	-3,14
0,4	-0,78	-3,92
0,48	-1,13	-4,7

En la gráfica s-t apenas apreciamos diferencia, lo que significa que la toma de datos de la distancia recorrida fue bastante buena. Sin embargo, en la de v-t, apreciamos bastante diferencia, pues en la primera la recta no pasa por todos los puntos, y la segunda sí. Es aquí donde observamos el verdadero error, puesto que la que hemos realizado mediante cálculos analíticos nos cuadra perfectamente, pero la realizada mediante datos experimentales no tanto. La conclusión de esto es que los humanos no somos perfectos, ni tampoco nuestros instrumentos de medida, por lo que, a la hora de realizar experimentos, vamos a tener que enfrentarnos a una serie de problemas que vienen determinados por nuestra imprecisión, y que no debemos asustarnos cuando las cosas no nos cuadren a la perfección.