Galileo

La caída de los cuerpos

Por Santiago Álvarez-Sala y Miguel García

En esta tercera entrada del blog calcularemos el valor de la gravedad sobre la superficie terrestre. Ésta, como bien sabemos, es una aceleración vertical y hacia el centro de la Tierra, por lo que su valor es -9,8 m/s^2. Para llegar a ese solo valor realizaremos una serie de gráficas y cálculos analíticos que relacionarán las cuatro magnitudes que se dan en el MRUA: tiempo, espacio recorrido, velocidad y aceleración.

Para obtener estas relaciones hemos realizado una experiencia similar a la que se supone que hizo Galileo. Lo que hizo fue, según cuenta la leyenda, dejar caer tres bolsas desde el primer piso de la Torre de Pisa: una con bolas de plomo de mayor tamaño, otra con bolas del mismo material pero más pequeñas y la última rellena de bolas de madera. De este modo lo que pretendía era demostrar que Aristóteles había errado al determinar que la velocidad de caída de los cuerpos dependía de su velocidad. Efectivamente, Galileo estaba en lo cierto, pues las bolas cayeron casi al mismo tiempo, determinando así que la velocidad de caída dependía del rozamiento con el aire, que está directamente relacionado con el volumen y con la hidrostática de Arquímedes, pues el aire es un fluido, y que por tanto un elefante y una hormiga tardarían lo mismo en llegar al suelo si se dejasen caer desde la Torre de Pisa en el vacío.

El experimento que realizamos nosotros es similar, puesto que lo que hicimos fue dejar caer dos bolas de acero de distinto tamaño y masa desde una distancia de 113 cm. Para realizarlo pegamos una cinta métrica a la pared y grabamos la caída, descomponiéndola posteriormente en fotogramas o frames para poder fijarnos en la distancia que han recorrido cada 0,08 s.

Cabe aclarar antes de seguir que nosotros realizamos esta misma experiencia, pero debido a una serie de problemas técnicos relacionados con la descarga de los vídeos grabados con el móvil al ordenador, no hemos podido tomar nuestros datos propios, por lo que hemos tomado lo obtenidos por nuestros profesores de física, que realizaron el mismo experimento. Los datos son los siguientes:

POSICIÓN (Y) - Metros	TIEMPO (T) - Segundos
0	0
-0.03	0.08
-0.12	0.16
-0.27	0.24
-0.49	0.32
-0.78	0.4
-1.13	0.48

1. ¿Es posible representar los datos (y, t) en una gráfica? Hacedlo.

Hemos dicho que los movimientos de caída libre son siempre un MRUA, puesto que sufren una aceleración, que es la gravedad, de valor -9,8m/s^2.

2. Con los datos obtenidos calculad la velocidad de la bola en función del tiempo para cada intervalo.

Observad que la velocidad media es el incremento del desplazamiento respecto del tiempo:

Para calcular la velocidad de la bola respecto al tiempo hemos utilizado la siguiente fórmula:

v (t) = incremento de y/incremento de t

A continuación os mostramos una foto de como los hemos hecho:

En esta tabla podemos ver la velocidad y la posición respecto al tiempo

T (s)	Y (m)	V (m/s)
0	0	0
0,08	-0,03	-0,31
0,16	-0,12	-1,19
0,24	-0,27	-1,88
0,32	-0,49	-2,75
0,4	-0,78	-3,63
0,48	-1,13	-4,38

3. Con los datos obtenidos representad gráficamente la velocidad para cada tramo en función del tiempo y analizad cualitativamente este gráfico. ¿Qué podéis decir sobre el tipo de movimiento que describe la bola

de acero en su caída? ¿Está de acuerdo esta observación con vuestras expectativas?

Para responder a las cuestiones que nos encontraremos más abajo debemos antes hacer ciertas observaciones con respecto a esta gráfica. Hemos determinado que nuestro experimento, y las caídas libres en general, presenta un MRUA. Con esta gráfica lo verificamos, puesto que sabemos que en los MRUA las gráficas de tipo v-t son lineales, en las que la pendiente equivale a la aceleración, que en este caso, será un valor aproximado al de la gravedad. Al  tener una aceleración, a medida que aumenta el tiempo, también lo hace la velocidad del móvil, puesto que, como ya hemos dicho, hay una aceleración que hace que ésta incremente. Observamos también que la velocidad es negativa, puesto que hemos tomado como SR nuestra mano al dejar la bola caer. Una vez sabemos todo esto y hemos verificado que realmente este movimiento es un MRUA procederemos a calcular la gravedad.

4. A partir de la gráfica construida v(t), determinad el valor de la aceleración de la gravedad, g.

Comparad el valor de g obtenido con el ya conocido.

Para calcular la gravedad realizaremos el siguiente cálculo:

Al ser un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, como su nombre indica, la aceleración es uniforme o constante, por lo que la aceleración instantánea es igual a la aceleración media, la cual se realiza calculando el incremento de velocidad y diviediéndolo entre el incremento de tiempo, tal que así:

Obtenemos que la gravedad es -9,114 m/s^2, siendo el valor real -9,8 m/s^2.

5. Si existe discrepancia entre el modelo teórico y el obtenido experimentalmente, detectad y analizad las posibles fuentes de error. El modelo teórico, es decir, lo que teóricamente se hubiera obtenido, lo podéis desarrollar utilizando las ecuaciones cinemáticas para la caída libre: h = 1/2gt^2 y v = gt (considerad g = 9,8 m/s^2) y representad la gráfica v-t para los valores de tiempo anteriores.

Obtenemos que la gravedad es -9,114 m/s^2, siendo el valor real -9,8 m/s^2. Esto quiere decir que el valor que hemos obtenido nosotros como gravedad tiene un error absoluto de 0,686 m/s y un error relativo de 7 %. Esto significa que el experimento realizado está bastante bien hecho, pues un 7% no es un valor alto, sino más bien lo contrario.

Y estas discrepancias, ¿A qué se deben? Uno de los motivos que influye es el rozamiento con el aire, ya que el valor real de la gravedad está obtenido en el vacío. Otro posible motivo es el no haber sido demasiado precisos en la toma de dato, en parte comprensible porque no gozamos de herramientas tan sofisticadas. El tercer posible error cometido al realizar  cálculos, pues hemos redondeado a dos cifras decimales, suprimiendo de esta forma muchas otras. Finalmente concluiremos diciendo que la velocidad instantánea ha sido tomado por intervalos de tiempo, y no por instantes, por lo que ahí también puede residir cierta equivocación.

En teoría, si nada de lo citado ocurriese y todo fuese perfecto, obtendríamos los siguientes valores:

T (s)	Y (m)	V (m/s)
0	0	0
0,08	-0,03	-0,78
0,16	-0,13	-1,56
0,24	-0,28	-2,35
0,32	-0,5	-3,14
0,4	-0,78	-3,92
0,48	-1,13	-4,7

En la gráfica s-t apenas apreciamos diferencia, lo que significa que la toma de datos de la distancia recorrida fue bastante buena. Sin embargo, en la de v-t, apreciamos bastante diferencia, pues en la primera la recta no pasa por todos los puntos, y la segunda sí. Es aquí donde observamos el verdadero error, puesto que la que hemos realizado mediante cálculos analíticos nos cuadra perfectamente, pero la realizada mediante datos experimentales no tanto. La conclusión de esto es que los humanos no somos perfectos, ni tampoco nuestros instrumentos de medida, por lo que, a la hora de realizar experimentos, vamos a tener que enfrentarnos a una serie de problemas que vienen determinados por nuestra imprecisión, y que no debemos asustarnos cuando las cosas no nos cuadren a la perfección.

Medida del radio de la Tierra.

Introducción

En este trabajo nos disponemos a repetir el experimento que realizó un hombre llamado Eratóstenes hace más de 2000 años. Eratóstenes consiguió calcular de una manera aproximada y con un error muy leve el radio de la Tierra. También consiguió demostrar que la Tierra era redonda y todo esto con unos medios mucho más limitados que los nuestros.

A Eratóstenes se le ocurrió realizar esta investigación porque a sus oídos llegó el rumor de que en una ciudad llamada Siena, en un determinado día, en la hora de la culminación, los objetos no proyectaban sombras. Eratóstenes, tras darle vueltas a este fenómeno e investigar sobre él, llegó a la conclusión de que la Tierra era redonda y consiguió calcular su radio. Ahora nosotros repetiremos el proceso que siguió él para averiguar todo esto.

Toma de datos

Para realizar este trabajo estuvimos desde las 12:30 hasta las 15:20 del día 25 de Octubre de 2014 tomando la sombra del extremo del gnomon(77,76 cm) cada 5 minutos. Para ello extendimos un trozo de papel kraft en el suelo y colocamos el gnomon en un lado del papel, es muy importante que no se mueva el gnomon durante toda la toma de medidas debido que si lo hace las medidas no nos servirían, para ello recomendamos que se marque la silueta del gnomon por si acaso se mueve poder colocarlo de nuevo en su lugar. Aquí os mostramos una foto de como lo hicimos.

Ahora nos disponemos a averiguar la hora del cenit, es decir, el punto más alto que ha alcanzado el Sol durante el intervalo. Para ello tenemos que trazar varios arcos de circunferencia tomando como centro de los arcos el punto que se encuentra debajo del palo del recogedor. Estos arcos deben cortar con dos puntos de los datos que obtuvimos antes, obteniendo así los puntos P1 y P2, después repetimos el proceso para obtener los puntos Q1 y Q2.

Una vez que tenemos estos puntos los unimos con una línea recta y calculamos la mediatriz de esta. Al trazar la mediatriz esta pasará por uno de nuestros datos y la hora de ese dato será el cénit, en este caso el cénit se produce a las 14:03, como ya sabéis el cénit es el momento en el que el sol se encuentra más alto en el el cielo . Debemos repetir este proceso con los otros dos puntos para obtener un valor más exacto.

Experiencia:

Como hemos dicho anteriormente, reproduciremos el experimentos realizado por Eratóstenes hace más de dos mil años. Para ellos, tomaremos una serie de datos:

GRUPO	Longitud de la sombra (cm)	Hora cenit	Altura gnomon (cm)
1	70,5	14:00:00	78,5
2	71,8	14:10:00	77,5
3	69,6	14:00:00	78,5
4	72	14:02:00	76
5	71,65	14:03:00	78,3
Promedios	71,11	14:03:00	77,76
Coordenadas del Colegio Base	40º 30' 36'' N ; 3º 36' 40'' O

Estos datos son los obtenidos en nuestro centro escolar, por los distintos grupos de personas que hicimos entre ambas clases. Como ya sabemos, teniendo en cuenta el experimento realizado por Eratóstenes, no sólo nos basta con los datos de un punto del planeta, sino que necesitamos también los de otro observatorio. En este caso, nosotros se los hemos solicitado al colegio Jesús María, Córdoba, Argentina. Muy amablemente, un profesor de dicho centro escolar, nos facilitó la siguiente información:

Lat 31º 24’ Sur

Long 64º 11 Oeste

Distancia al Ecuador 3.491,42 km

Altura del gnomon: 30,0 cm

Sombra:17,3 cm (a las 13h 18 mins).

Una vez que tenemos los datos de dos observatorios diferentes situados en dos puntos distintos del planeta Tierra, realizamos lo siguiente:

           

       

A continuación procederemos a la explicación de ese procedimiento. Lo primero que hemos hecho ha sido representar gráficamente el experimento, dibujando los gnomons, con sus medidas y sus respectivas sombras. Hemos llamado 1 y 2 al ángulo formado por los rayos solares al cruzarse con el gnomon. Procedimos a calcular dichos ángulos, mediante la utilización del arco tangente, que definimos como la relación entre la longitud de la sombra y la altura del gnomon. De este modo, obtuvimos que a1=30’26º y que a2=42’44º. Una vez supimos la medida de estos ángulos, pasamos a medir la medida de a, que surge del cruce de los gnomons si los prolongamos hasta el centro de la Tierra. Este nos da que mide 72’70º. Ya calculado este ángulo, nos adentramos en la penúltima parte, que consiste en calcular el perímetro de la circunferencia de la Tierra mediante la siguiente proporción:

Obtenemos que el radio de la Tierra es de 6.300 km. Sabíamos desde el principio que la medida que íbamos a obtener no iba a ser del todo correcto. Tras buscar en Internet el radio real de la Tierra, realizado con instrumentos más precisos y por científicos más experimentados, encontramos que éste es de 6.370 km, lo cual está bastante próximo al resultado obtenido por nosotros.

Finalmente vamos a proceder el error absoluto y el error relativo, lo cual se debe hacer siempre que obtengamos unos resultado y se ha de estudiar las posibles causas.

Er.absoluto= 6.370 km - 6.300 km = 70 km.

Er.relativo= 70 km/ 6.300km = 0.011 = 1,1%

Simplemente hemos tenido un error de un 1%, lo cual es bastante razonable teniendo en cuenta los instrumentos de los que disponíamos, o algún otro error al aproximar decimales.

Personalmente pensamos que este experimento ha sido bastante dinámico y una forma alternativa y muy efectiva de aprender a medir el radio de la Tierra, mucho mejor que aprendernos la fórmula de memoria. Agradecer también al profesor Enrique del colegio Jesús María de Córdoba, Argentina, por habernos facilitado dichos datos, ya que sin estos, no hubiese sido posible realizarlo.

La hidrostática de Arquímedes.

En esta nueva entrada del blog procederemos a resolver las cuestiones propuestas en la siguiente actividad de Arquímedes a Einstein, las cuales corresponden al primer capítulo del libro: Arquímedes. El principio fundamental de la hidrostática.

En esta entrada os expondremos un experimento, no sólo interesante, sino bello por su simplicidad. Para ellos utilizaremos los instrumentos descritos en el punto 1, a continuación.

1. Describe sus características/cualidades. Presta especial atención a la diferencia entre precisión y exactitud. ¿Podrías decir cuál es la precisión de cada aparato?



Dinamómetro: El dinamómetro es un instrumento de laboratorio que utilizamos para medir la fuerza o peso que ejerce un objeto.
Este instrumento funciona mediante el estiramiento de un muelle situado dentro de él.Éste se encuentra en el interior de un cilindro que a su vez está dentro de otro cilindro de mayor tamaño. Tiene también dos anillas en los extremos, una para colgarlo y otra para medir la fuerza o peso de un objeto. La precisión de este aparato es de 0,02N


Báscula: La báscula la utilizamos para saber la masa de los objetos.
La bascula es un instrumento compuesto por una plataforma, la cual tiene un muelle debajo de ella. 
Dependiendo de este muelle podemos determinar la masa de los objetos. La precisión seria de 0,1g, en el caso de la usada para el experimento.


Calibre: También conocido como calibrador , pie de rey o cartabón de corredera, es un instrumento utilizado para medir las dimensiones de un objeto relativamente pequeño.
La precisión del calibre es de 0,01cm










Para ayudar un poco a la comprensión de estas definiciones, a continuación encontramos una explicación de las distintas características de dichos instrumentos.

Precisión: La precisión es la mínima fracción de medida. Un aparato es más preciso cuando sus valores se acercan más entre sí. Ningún instrumentos de medida es perfecto, pero cuanto mayor sea la precisión, más nos acercaremos a la medida real del objeto.
Por ejemplo, si tenemos una probeta y añadimos un litro de agua siempre marcará 950cm3, lo cual significa que dicho instrumentos es bastante preciso.

Exactitud: La exactitud consiste en obtener el mismo resultado midiendo repetidas veces el mismo objeto, y obteniendo la misma medida.

2. ¿Cuáles son las unidades en las que se miden el peso, la masa y el volumen? ¿Cuál/cuáles son magnitudes fundamentales y cuál/cuáles son derivadas? Expresa la ecuación de dimensiones en el/los caso/s que proceda.
Antes de comenzar a definir estos conceptos y proceder posteriormente con la experiencia, me gustaría hacer un inciso para dar una explicación general de qué es el SI, puesto que a continuación hablo de él. 
El mundo estaba repleto de distintas unidades de medida correspondiente a las distintas magnitudes. Éstas variaban entre los distintos países, por lo que se vio la necesidad de establecer ciertas unidades de medida como unidades internacionales,de las cuales se pudiese hablar en cualquier lugar del mundo, y que todos nos entendiéramos. Fue entonces cuando en 1960 se instauraron las seis unidades fundamentales de Sistema Internacional de Unidades, durante la XI Conferencia General de Pesas y Medidas. Posteriormente, en 1970, se instauraría la séptima unidad fundamental: el mol. A partir de éstas surgen las demás unidades derivadas. Actualmente todos los países del mundo han adoptado el SI como sistema de unidades único o prioritario, exceptuando Birmania, Liberia y Estados Unidos.

Una vez dicho esto, es hora de proceder con la respuesta a la pregunta del punto 2:
Comenzaremos con el peso. El peso, también conocido como fuerza, se mide en Newtons (N). El Newton es una medida derivada del SI, cuyo análisis dimensional es M·L·T^-2, y si lo expresamos con la unidades del SI, sería kg·m/s^2. La siguiente magnitud que encontramos es la masa (m), la cual es una magnitud fundamental, cuya unidad en el SI es el kilogramos (kg). Finalmente tenemos el volumen (v), la cual es una magnitud derivada, cuya expresión en el SI es el metro cúbico (m^3), y su análisis dimensional es L^3. 

A continuación procederemos con el experimento del que tanto hemos estado hablando.
tenemos dos esferas metálicas de distintas densidades pero MISMO volumen y en primer lugar las pesamos,


Como podéis observar la esfera plateada tiene una masa de 68,5 g mientras que la esfera negra tiene una masa de 22,5 g.

A continuación suspendemos ambas esferas de un dinamómetro por medio de una cuerda, cuya masa consideraremos despreciable, y tomamos la medida que indica en Newtons (recuerda que si guardas las imágenes las puedes ver más grandes)
La imagen de la izquierda en ambos casos (esfera negra y esfera plateada) es un plano general del montaje y la que está a la derecha es un plano más corto para poder tomar la medida. Tened en cuenta que el dinamómetro puede medir como máximo un Newton luego cada subdivisión vale 0,02 Newtons.

3. Antes de proceder con los cálculos debéis leeros los puntos 2 y 3 del libro de texto (páginas 9 y 10) y consultar las webs que tenéis a vuestra disposición en los puntos 0.2 y 0.3 de la plataforma. A continuación calculad la masa de las esferas aplicando la ecuación para el peso P = mg (tomando g=9,8 m/s^2. Prestad atención a las cifras significativas que utilizáis, utilizad la notación científica y redondead adecuadamente. En la entrada deberán aparecer todos los cálculos que realicéis y sus desarrollos (no solo los resultados) Comparad el dato obtenido con el que marca la balanza, ¿hay discrepancia en los resultados? ¿A que se pueden deber las diferencias?

En esta imagen Hemos calculado la masa de la bola plateada ( a la izquierda) y la de la bola negra (a la derecha) mediante la ecuación para el peso. Hemos subrayado en azul los resultados que se obtuvieron al pesar las bolas en la báscula y en verde los resultados que nos han salido mediante la ecuación para el peso. La bola plateada en la báscula dio un peso de 68,5 g frente a los 69,4 gramos que nos han salido al realizar la ecuación para el peso. Creemos que esta diferencia se debe a un error accidental al medir, porque es improbable que la báscula se equivoque por tanto, aunque también puede ser que estuviese mal calibrada. En cambio en la bola negra vemos que hay menos diferencia entre las dos medidas, la báscula midió 22,5 gramos y en la ecuación nos ha dado 22,4 gramos. El resultado que sale al hacer la ecuación es 22,4489... hemos redondeado a un solo decimal. Este error es un error muy pequeño que puede estar provocado por algún error al medir de la báscula o porque hemos medido mal el peso en Newtons o por cualquier factor que por pequeño que sea ha cambiado las medidas. En los dos casos los errores pueden ser o accidentales o provocados por el factor humano. Otra opción es que en la bola plateada hubiese un error sistemático por mal calibrado y antes de medir la bola negra se corrigió, y es por eso por lo que en la negra hay una diferencia mínima.  

El diámetro de ambas bolas es de 2,7 centímetros.

4. ¿Ya tenéis las medidas del diámetro de ambas esferas? Ni que decir tiene que entonces sabréis calcular el volumen de las mismas y por último con el dato experimental de la masa obtenido en el punto 2 podemos calcular la densidad de cada esfera (d=m/V) Recordad que hay que presentar los cálculos completos respetando las normas para las cifras significativas, utilizando la notación científica y aplicando los redondeos correctos.

En un alarde de esfuerzo investigador es posible que encontremos con qué materiales se corresponden las densidades obtenidas.

El volumen es igual para las dos esferas y es de 9,2 cm³

En esta imagen os mostramos las densidades de las dos bolas, la de la plateada es 7,54 g/cm³ y la de la negra es 2,43 g/cm³.

Hemos descubierto que la bola plateada es de hierro, debido a que la densidad del hierro es de 7,87 y puede que halla habido pequeños errores al medir las medidas de la bola plateada.  En la bola negra la densidad a la que más se aproxima es a la del estroncio que es 2,54 o a la del boro que es 2,34. Aunque creemos que es de aluminio (2,7) y que se ha cometido algún error al tomar las medidas.

De una manera experimental, hemos tomado las magnitudes de peso, volumen, y por tanto, densidad. La masa la tomamos teóricamente y la densidad del agua y la gravedad terrestre, como es de esperar, tampoco las hemos tomado nosotros, sino que las hemos obtenido gracias a experimentos realizados anteriormente en la historia.
Volviendo al experimento, hemos obtenido el empuje de manera experimental, el cual es el mismo resultado para ambas esferas:
Empuje bola negra= 0'22N-0'14N=0'08N
Empuje bola plateada= 0'68N-0'59N=0'08N
Ahora, como buenos científicos que somos, vamos a comprobar si el resultado experimental es el mismo que es teórico:
Empuje=V·d·g
Empuje=9'2cm^3·1g/cm^3·9'8m/s^2=90'16g·m/s^2=90'16g·10^-3·m/s^2= 0'09kg·m/s^2=0'09N.
Podemos comprobar que el empuje es distinto al calcularlo de forma teórica. Esto se debe a que debimos de cometer algún error a la hora de medir con el calibre o al tomar los decimales del dinamómetro. A parte de este error, podemos observar que Arquímedes llevaba toda la razón al proponer su teoría de la hidrostática: Todo cuerpo sumergido dentro de un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba exactamente igual al peso del líquido desalojado. Después de descubrir esto, saldría desnudo de la bañera gritando Eureka por todo Siracusa. Al igual que en este experimento, en muchos otros se daría esta teoría, la cual nos serviría para explicar muchísimos fenómenos de la naturaleza, como el por qué de que se hundan las piedras en el mar, de que nosotros flotemos o por la que vuelan los globos aerostáticos. Para explicar todos ellos debemos remontamos a la base de la estática de fluidos: la hidrostática de Arquímedes.